Cálculo Diferencial

Intensidad: 4 horas semanales de clase.

Créditos: 4. Esto indica que el alumno debe dedicar al estudio de la asignatura doce horas a la semana (por lo menos), que corresponden a cuatro horas de clase y dos horas de trabajo personal (por lo menos), por cada una de las cuatro horas de clase.

Prerrequisito: Matemáticas Básicas.
Planes de estudio a los que está asociada: carreras de las facultades de Ciencias Económicas, Ingeniería y Ciencias (diferentes de Matemáticas, Física y Estadística).

Coordinador: Profesor Jhon Jaime Rodríguez Vega,  jjrodriguezv@unal.edu.co
Descripción:

Objetivos:
Estudiar los conceptos de límite y derivada para funciones de una variable real y utilizar estas ideas en la solución de problemas de optimización, trazado de curvas y razones de cambio.

Metodología:

La asignatura tiene una intensidad de cuatro horas presenciales semanales representadas en dos conferencias teóricas de dos horas cada una, durante las cuales el profesor desarrolla conceptos teóricos, ejemplos y ejercicios. Semanalmente se publican talleres (listas de ejercicios) que los alumnos deben realizar. Para hacerlo, cuentan con la ayuda de monitores de pregrado.

Cada curso está a cargo de un profesor de planta, un becario de posgrado o un docente ocasional. Ellos atienden consultas de los estudiantes por fuera de clase, igual que lo hacen monitores de pregrado nombrados para el efecto. En las horas de atención, el estudiante consulta sobre las dudas teóricas y sobre los ejercicios. La asistencia de los estudiantes a las asesorías es opcional. 

Contenido:

1.Funciones y Modelos

    1.1.Definición de función, dominio, rango, gráfica de una función, prueba de la recta vertical.
    1.2.Funciones definidas a tramos, valor absoluto, simetría, función par, impar, funciones
    crecientes, decrecientes. Catálogo de funciones     básicas: función lineal.                     
   1.3.Catálogo de funciones básicas: polinomios (grado, raíces, función cuadrática, función cúbica), funciones de potencia, funciones racionales,     funciones algebraicas y funciones                trigonométricas.           
    1.4.Transformaciones de funciones: desplazamientos verticales y horizontales, alargamientos verticales y horizontales.     
    1.5.Álgebra de funciones, composición de funciones.
   1.6.Funciones exponenciales: gráficas, leyes de los exponentes, modelación con funciones exponenciales, el número e.     
    1.7.Función inversa: función uno a uno, prueba de la recta horizontal, definición de función inversa, gráfica de la función inversa.     
    1.8.Funciones logarítmicas: definición, gráficas, leyes de los logaritmos, logaritmo natural, fórmula para el cambio de base, gráfica de la función    logaritmo natural.                     
     1.9.Funciones trigonométricas inversas: función seno inverso, función tangente inversa, función coseno inverso.
                     
2.Límites y Derivadas

    2.1. Límite de una función: definición intuitiva, ejemplos gráficos, ejemplos     con tablas de valores límites laterales, ejemplos gráficos.  
    2.2.  Cálculo de límites: reglas básicas para el cálculo de límites, límites de     funciones definidas por tramos, teorema de compresión.  
     2.3.    Continuidad: definición, continuidad por la derecha y por la izquierda,     teoremas básicos sobre funciones continuas, teorema de sustitución     para el cálculo de límites de funciones compuestas, teorema de     continuidad de funciones compuestas, teorema del valor intermedio.
   2.4.     Límites que comprenden el infinito: límites infinitos y asíntotas     verticales, límites en el infinito y asíntotas horizontales, límites infinitos    en el infinito.                      
   2.5.     Tangentes, velocidades y otras razones de cambio.
   2.6.     Definición de derivada, interpretación de la derivada como la pendiente     de una tangente, interpretación de la derivada como una razón de     cambio.                      
   2.7.    La derivada como una función, notaciones de la derivada, relación entre     diferenciabilidad y continuidad, Derivadas de orden superior.  
    2.8.   ¿Qué dice f’’ acerca de f? 
                    
3.Reglas de Derivación

    3.1. Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales. Las reglas del     producto y del cociente.                      
    3.2.   Derivación de funciones trigonométricas. La regla de la cadena.  
    3.3.   Derivación implícita. Derivadas de las funciones trigonométricas     inversas. Derivadas de funciones logarítmicas. Derivación logarítmica.              

4.Aplicaciones de la derivación

     4.1.  Razones de cambio de variables relacionadas.          
     4.2.  Valores máximo y mínimo absolutos de una función. Extremos relativos     de una función. Teorema del valor extremo. Teorema de Fermat.     Valores críticos de una función.
     4.3.   Derivadas y las formas de las curvas: teorema del valor medio, prueba     para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, prueba     de la primera derivada para extremos relativos.  
    4.4.   Definición de concavidad y puntos de inflexión. Prueba de     concavidad, prueba de la segunda derivada para extremos relativos.
  4.5. Ejemplos de trazado de gráficas. Formas indeterminadas y la regla     de L’Hôpital.                      
     4.6.   Problemas de optimización.                      
    4.7.    Antiderivadas: definición, tabla de fórmulas de antiderivación, problemas     de aplicación)  

Bibliografía

  • J. Stewart. Cálculo. Conceptos y contextos. Editorial Thomson, ediciones 2ª y 3ª.   
  • Smith, R.T., Minton, R.B. Cálculo, Tomo I. Mc Graw Hill. 2000.
  • Finney, R. L. Cálculo. Prentice Hall. 2000.
  • Hughes-Hallet, D., Gleason, A. M. Calculus. John Wiley & sons. 1994.
  • Thomas, G. B., Finney, R. L. Cálculo en una variable. Addison Wesley  Longman, novena edición. 1998.
  • Stein, Sh.K., Barcellos, A. Cálculo con Geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamericana. 1996.

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